通向量子引力的路，又宽了一点点

二维共形场论一直是理论物理的重要前沿研究工具之一，尤其是约瑟夫·刘维尔的共形场论，与量子引力有着千丝万缕的联系。借助保角自举方法，约瑟夫·刘维尔保角场可以无微扰地精确求解。但是它的关键方程其实都是猜测出来的，直到近几年数学家才给出一个严格的证明。数学家和物理学家对量子场论的深刻意义有了更多的了解。

量子引力理论被认为是物理学中的圣杯，它一直吸引着我们星球上最顶尖的智慧人士来探索它。如今，聪明的科学家已经能够熟练地应用量子理论和广义相对论，甚至在日常生活中也能找到它们。然而，隐藏在这两种理论背后的宇宙奥秘，仍然显得那么遥远和不可预测。

2003年，环圈量子引力的创始人之一、美国物理学家李在他的科普著作《通往量子引力的三条道路》的结尾有一个乐观的展望:“到2010年，最多到2015年，我们应该有了量子引力理论的基本框架……在有了这个理论的10年之内，可以检验它的新的实验将被发明出来。回过头来看，斯莫林的预测显然过于乐观。

也许宇宙暗能量的概念最能体现量子论和引力论的差距。根据广义相对论，宇宙的加速膨胀表明真空具有能量，即爱因斯坦方程中的“宇宙常数”不为零。同时，根据量子场论，真空也有非零能量，这一点已经被卡西米尔效应实验所证实。这样看来，似乎两种理论都异口同声地给出了真空能量，但实际上，两种理论给出的数值相差120个数量级！注意不是120倍，而是120个数量级，也就是10120倍。试图用真空零点来解释宇宙常数，已经成为物理学中最离谱的猜想。

然而，我们的宇宙中不可能存在两种真空，因此提出了“宇宙暗能量”的概念，以弥合两种理论在真空能量描述上的巨大差异。暗能量之所以被称为“暗”，是因为它既不在量子论的框架内，也无法用引力理论解释。这个占据宇宙总能量70%的神秘缺口，可能只能等未来的量子引力理论来缝合了。

“降维罢工”

探索量子引力的途径充满了现有数学工具难以逾越的障碍，因此研究人员在尝试构造新工具的同时，也在尝试迂回的方法来简化问题。二维模型是最常用的迂回方法之一。

将高维降维最明显的好处就是操作大大简化。比如在二维平面中，几次旋转操作的顺序可以随意互换，最终的操作结果不会因为顺序的改变而受到影响。但是在三维或者更高维的空间中，多重旋转操作是不能随意互换的。可见，二维空间比高维空间受到的限制更少，在处理复杂计算时有更大的活动空间。

当然，旋转操作只是一个很差的例子。研究人员真正喜欢的是一种叫做“保形变换”的操作。这种运算也叫“保角变换”，顾名思义，它可以使任意两条直线在变形时保持夹角不变。例如，下图所示的变换就是典型的保角变换。变换后，每条蓝线和每条红线保持垂直。

如果是第一次听到“保形变换”这个名词，不要被这个虚张声势的名字吓到。看上图那些曲线。它们有没有让你想起中学课本上的电场线和磁力线？回想小时候用废铁在纸上显示磁力线的小实验。其实，当你手里拿着两块磁铁，随意走动时，纸上的铁屑图案的变化只是一个保角变换。

物理学家研究场时需要保角变换的辅助。保角变换中的每一个不变量本质上都是对称性的表现，就像镜像反转或空间平移的对称性一样。物理学家最喜欢对称。每增加一个对称，物理学家就可以多写一个方程来约束这个系统。未知数的数量没有增加，但是方程的数量增加了，那么解出答案的希望当然也就增加了。

保角变换和对称性是如此重要，以至于CFT已经成为一门应用广泛的基础学科。它不仅是量子场论和引力理论中不可缺少的工具，而且是凝聚态物理和热力学中不可缺少的工具。特别是在20世纪末发现了Ads/CFT的双重关系后，CFT的重要性进一步提高。

虽然共形场不限于二维，但对于渴望解方程的研究者来说，它无疑是最友好的对象。因为只有在二维平面中，共形变换的种类是无限的，而在更高维的空间中，共形变换的种类是有限的，所以二维共形所包含的力量是特别强大的。在某些情况下，研究人员甚至可以抛开其他因素，仅依靠这些对称性就足以精确求解。

非扰动解法

早在20世纪70年代，俄罗斯物理学家亚历山大·波利亚科夫就被二维共形场的强大威力所吸引，提出了一种求解量子场的新方法——共形自举。这种方法的基本思想是将求解过程分解为一步一步的爬楼梯。选择一个三点结构作为基础，然后添加第四点，再添加第五点...这个求解过程表面上看似繁琐，实际上却解决了一个困扰专业人士很久的难题。

传统量子场求解的基本思想直接或间接地继承了古代的分析力学和经典场论，即从拉格朗日或哈密顿量出发。正则量子化和费曼路径积分的技术也是基于拉普拉斯量和哈格里夫斯量。这套方法非常扎实耐用，很多关键环节都是古代圣贤反复打磨和铺垫的。对于我们这些后来的人来说，几乎是无脑的留下来代替特定的情境。

但这个套路在量子场论中有一个缺陷，就是场与场之间的相互作用不能太强，最好是完全没有相互作用的自由场。这就像一套求解物体运动状态的方法，但只能求解匀速直线运动。在处理匀速圆周运动时，加入垂直于运动方向的加速度作为高阶修正项。然而，如果有变速的圆周运动，就必须增加更多的修正项。

这种逐个补丁的方法在技术上被称为“扰动”。也就是说，场与其他约束之间的所有相互作用都被视为对自由场的“微小扰动”，由此产生的效应只反映在那些修正中。显然，当我们遇到非常强的相互作用时，微扰法就会失效，无法提供与实际情况相符的结论。

上面提到的保形自举法是一个非微扰的程序，可以求解很多强耦合的量子场。20世纪80年代初，波利亚科夫和他的两位合作者别拉文和扎莫罗奇科夫发表了一篇重要论文，其中给出了求解一系列二维共形场的框架，向研究人员展示了这种方法的强大威力。从此，以三位作者名字命名的BPZ方程成为CFT发展的里程碑。

从N-1点到N点的BPZ方程是这样的:

不懂也没关系。这篇文章并不打算解释这个等式的含义。列出这个等式纯粹是为了满足一些读者的好奇心。顺便炫耀一下作者使用搜索引擎的能力。

沿着BPZ方程搭建的阶梯，很多传统微扰方法挖掘不到的宝藏，现在都可以通过保形自举挖掘出来。在这些宝藏中，有一个与量子引力理论密切相关的特殊二维共形场，它就是“约瑟夫·刘维尔场”。

作为二维共形场，约瑟夫·刘维尔场当然是量子场。同时，约瑟夫·刘维尔场的经典极限自然给出了爱因斯坦方程的二维版本。因此，约瑟夫·刘维尔场本身就是一个美丽的二维量子引力理论。而且约瑟夫·刘维尔场还可以描述二维平面中玻色弦的激发，可以看作是弦理论构建的量子引力模型的一部分。此外，通过Ads/CFT的双重关系，约瑟夫·刘维尔场是一个三维弯曲时空中的引力描述。

上面这段话可能会让非理论物理专业的读者感到困惑。事实上，尽管所有的技术术语，约瑟夫·刘维尔场将出现在许多与量子引力理论有关的研究中。所以我们凭感觉就知道，这个约瑟夫·刘维尔场一定和量子引力密切相关。要了解更多量子重力的秘密，约瑟夫·刘维尔场必须是一个有价值的切入点。

既然保形自举工具在手，约瑟夫·刘维尔场的求解似乎唾手可得，但仍有一个难题阻碍了研究进展，那就是BPZ阶梯开头的三点结构必须精确表达，同时还必须满足一系列约束条件。如果只用路径积分和微扰法进行计算，就会从源头上失去“非微扰”的要旨。然而，为了找到这个结构常数，费了很大的劲。直到20世纪90年代，两组研究人员才一致给出了确定这个结构常数的公式。这个公式被命名为DOZZ公式，代表了多恩、奥托、扎莫罗奇科夫和扎莫罗奇科夫两组研究人员。

这里没有笔误。最后两个确实是Zamolodchikov，其中一个是BPZ的“Z”，全名是Alexander Zamolodchikov，另一个是他的孪生兄弟Alexei Zamolodchikov。顺便说一下，虽然这三个BPZ人的姓氏不同，但他们的名字都是亚历山大，这也是一个有趣的巧合。

回到DOZZ公式，借助这个公式作为起点，研究人员最终可以求解约瑟夫·刘维尔场的关联函数。但是这个DOZZ公式的由来还是不尽如人意。因为这个复杂的公式不是推导出来的，而是学生猜测出来的，可以说是继承了顶尖物理学家的优良传统。在1996年发表的论文中，作者扎莫罗奇科夫兄弟直接而坦率地承认:

“需要强调的是，本节的论证与推导无关。这些更像是某种动力。我们将把提出的表达式作为一种猜测，我们将在下面的章节中试图证明这种猜测。这个猜测看起来非常自然，甚至可能被关注这个问题的人认为是显而易见的。”

如果不能从逻辑上严格推导出这个公式，说明我们还没有真正理解它的含义。即使它能在约瑟夫·刘维尔场的具体计算中给我们提供很大的帮助，它也很难揭示物理世界的本质。

因此，一些研究者开始努力研究，试图弄清楚DOZZ公式可以从哪个角度推导出来。这个任务的难度出乎很多人的意料，在DOZZ公式提出后的十几年里也没有明显的进展。直到2014年以后的几年，才陆续出现了几篇论文。

近年来，DOZZ公式的证明过程带有跨界的味道，使用了概率论的语言和工具，主要包括GMC和GFF(高斯自由场)。

从这些证明中，我们也获得了很多新的知识。最初认为随机涨落引起的引力场本身是强耦合的，因此无法与路径积分调和。然而，在概率论的一些工具的帮助下，那些波动的毛刺可以被打磨得足够平滑，并且平滑地与路径积分兼容。

当然，物理学家的目标不仅仅是驯服二维平面上的引力野蛮波动，而是采取驯服的经验和工具，与真实时空中的引力正面作战。

附:

DOZZ公式看起来像什么:

其中一个是由多个伽玛函数定义的函数，用节省纸张的方式编写

更直观的写法是

这么复杂的公式，居然是凭感觉猜出来的！这是多么强大的直觉啊！

参考

库皮艾宁、安蒂；罗德斯、雷米；文森特·巴尔加斯(2017)。 "刘维尔理论的可积性:DOZZ公式的证明 "。arXiv:1707.08785(数学。PR)。

文森特·巴尔加斯(2017)。“刘维尔理论和多兹公式讲义”。arXiv:1712.00829(数学。公关)

A.b .扎莫罗奇科夫；艾尔。扎莫罗奇科夫(1996年)。刘维尔场论中的结构常数和共形自举。DOI:10.1016/0550-3213(96)00351-3。arXiv:hep-th/9506136